和積公式の作図

前回の記事では、ふつう和積公式で解くような問題を、様々な解法で解きました(まだご覧でない方は是非ご覧ください)。

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今回は解法4の図をもとに、和積公式を作図で確かめたいと思います。紙とペン、定規とコンパスを用意して、実際に追ってみてください。

確かめるのは $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2} \cos \frac {\alpha -\beta }{2}$ で、 $0^\circ < \alpha < 90^\circ ,0^\circ < \beta < 90^\circ$ とします。

0.準備

①円 $Ｏ$ を描き、直径 $AB$ をひく
② $\angle AOX =\alpha ,\angle BOY =\beta$ となる2点 $X,Y$ を、 $AB$ に関して同じ側にとる

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まずは円 $Ｏ$ を半径1の単位円としてしまいましょう。
図では垂線が下りていますが、垂線の足を結んだ線分の長さが $\cos \alpha +\cos \beta$ となります。

1. $\cos \frac{\alpha +\beta }{2}, \cos \frac {\alpha -\beta }{2}$ をつくる

③ $\angle XOY$ の二等分線を引き、円 $Ｏ$ との交点のうち直線 $AB$ に関して $X$ と同じ側にあるものを点 $P$ とする
④ $P$ から $OY$ に垂線を下ろし、足を点 $H$ とする
⑤直線 $OB$ に関して $Y$ に対称な点 $Y'$ をとる
⑥ $\angle XOY'$ の二等分線を引き、円 $Ｏ$ との交点のうち直線 $AB$ に関して $X$ と同じ側にあるものを点 $Q$ とする
⑦ $Q$ から $OY'$ に垂線を下ろし、足を点 $I$ とする

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$\angle XOY$ , $\angle XOY'$ はそれぞれ $180^\circ -(\alpha +\beta ) ,180^\circ -(\alpha -\beta )$ となります。
$\angle POY$ , $\angle QOY'$ がその半分の大きさの角となり、 $PO=1,QO=1$ ですから、 $PH=\sin \frac{180^\circ -(\alpha +\beta) }{2}, QI=\sin \frac {180^\circ -(\alpha -\beta) }{2}$ となります。
したがって $PH=\cos \frac{\alpha +\beta }{2}, QI=\cos \frac {\alpha -\beta }{2}$ です。

2. $\cos \frac{\alpha +\beta }{2}, \cos \frac {\alpha -\beta }{2}$ 同士を掛け合わせる

⑧ $O'A'=OA,O'H'=PH$ となる3点O',H',A'を、同一直線上にこの順にとる(とれる)
⑨ $A'Q'=QI$ となる点 $Q'$ を直線 $O'A'$ 外にとる
⑩ $H'$ を通り $A'Q'$ と平行な直線をひく
⑪ $O'Q'$ と⑩の交点を $M'$ とする

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新しいフィールドで、比を用いて線分のかけ算を行います。
$O'A'=1$ なので、 $O'A':O'H'=A'Q':M'H'$ より、 $M'H'=O'H'\times A'Q'$ です
よって1の最後の式より、 $M'H'=\cos \frac{\alpha +\beta }{2} \cos \frac {\alpha -\beta }{2}$ となります